Dinâmica de populações, crescimento exponencial e coronavírus

Agradeço a meu colega professor Eduardo Mariano Neto por comentários em uma primeira versão deste texto. :-)

Meus objetivos com este texto são 1) usar a pandemia do COVID-19 para discutir alguns conceitos básicos de ecologia de populações e 2) usar estes conceitos de ecologia de populações para discutir a importância de reduzir o contato social em época de coronavírus e pandemias. Os modelos matemáticos que apresentarei aqui são simplificações extremamente simplificadas do que está acontecendo, mas, como todo modelo, podem servir para auxiliar um pouco no entendimento. Não tenho nenhuma formação em epidemiologia, mas acho que sei o suficiente sobre dinâmica de populações para escrever algo interessante e potencialmente útil.

Especificamente sobre o COVID-19, eu recomendo este texto da Renata Muylaert (uma ecóloga que fez um doutorado lindo sobre doenças infecciosas) e este material preparado pela pós-graduação em Microbiologia da UFBA. Esta matéria no Washington Post exemplifica o efeito do isolamento social sobre as taxas de infecção por uma doença e esta postagem no Dynamic Ecology discute a pandemia de um ponto de vista ecológico (e foi uma das principais inspirações para eu escrever este texto).

Importante: os gráficos e simulações que apresento aqui são pra exemplificar o que teoricamente pode acontecer, e não devem ser consideradas estimativas precisas do cenário atual! Existem estimativas muito mais precisas feitas por pessoas muito mais capacitadas que eu e levando em conta mais informações. Meu objetivo aqui, como falei, é explicar alguns conceitos de ecologia de populações e como eles podem ser aplicados a infecções virais.

Ecologia de populações é uma área da ecologia que estuda padrões e processos que ocorrem em populações, com o termo “população” se referindo a um conjunto de indivíduos da mesma espécie vivendo em um determinado local e em um determinado tempo. Em linhas gerais, podemos falar de estrutura populacional e dinâmica populacional. Estrutura populacional é como se fosse uma fotografia da situação no momento: quantos indivíduos há, como eles são (em termos de idade, tamanho, condição física etc), onde eles estão (incluindo se estão mais aglomerados ou menos aglomerados). Dinâmica populacional, por sua vez, é como se fosse um vídeo, mostrando o que acontece com a população ao longo tempo, especialmente com o número de indivíduos: o número de indivíduos (i.e. tamanho populacional) está aumentando ou diminuindo? Com que velocidade? Esta velocidade é contínua ou muda ao longo do tempo?

Obivamente há interações entre estrutura e dinâmica populacional – a estrutura altera a dinâmica, a qual por sua vez altera a estrutura. Por exemplo, a estrutura espacial – aspectos como distância entre os indivíduos e também sua movimentação – afeta as taxas de encontro, o que por sua vez pode afetar as taxas reprodutivas e consequentemente a taxa de crescimento populacional. Outras coisas que afetam o crescimento populacional são a taxa intrínseca de crescimento (basicamente a relação entre as taxas de mortalidade e natalidade; as quais são afetadas pela estrutura populacional!) e a quantidade e distribuição de recursos.

O modelo mais simples de crescimento populacional é o chamado crescimento exponencial. Este modelo assume que não há limitação de recursos, de modo que a única coisa que afeta a taxa de crescimento populacional é a taxa intrínseca de crescimento. Se fizermos um gráfico, com o tempo na horizontal e o número de indivíduos na vertical, teremos algo assim:

fig1

E o que isso tem a ver com o COVID-19? Bom, se olharmos como o número de casos no Brasil está aumentando ao longo do tempo, temos isso (dados até 17 de março) (os dados podem ser baixados deste site):

fig2

Percebem a semelhança? Se ajustarmos ao gráfico uma curva de crescimento exponencial, vemos a semelhança mais claramente:

fig3

Este não é um ajuste perfeito (percebem que a curva está em grande parte acima dos dados? Isso é indicativo de que este modelo não é perfeitamente apropriado para estes dados), mas pode servir para fins didáticos.

Crescimento exponencial representa um processo multiplicativo: um indivíduo se reproduz, gerando dois indivíduos; cada um desses novos indivíduos se reproduz, gerando dois indivíduos cada, e agora temos quatro novos indivíduos; de quatro passamos pra oito, de oito pra dezesseis, etc. Isso sendo que os indivíduos que já se reproduziram podem continuar na população (a taxa de crescimento depende das taxas de natalidade e de mortalidade). Pode ser que um indivíduo médio gere menos de dois indivíduos, ou mais, o que altera a velocidade do crescimento da população, mas não o padrão geral.

fig0a

Figura representando um modelo de crescimento exponencial. Começamos com um indivíduo reprodutivo. Ele se reproduz, gerando dois indivíduos reprodutivos; o indivíduo original, por sua vez, entra na fase pós-reprodutiva. Do tempo 2 para o tempo 3, os novos indivíduos gerados se reproduzem e geram dois novos indivíduos cada e entram na fase pós-reprodutiva, e o primeiro indivíduo (que já estava na fase pós-reprodutiva) chega ao fim da vida e parte, feliz em ver seus netinhos crescendo.

Pensando em doenças contagiosas a situação é similar: se uma pessoa infectada infectada duas outras pessoas, temos agora três pessoas transmitindo a doença. Se cada uma delas infecta mais duas pessoas, seis novos casos da doença e um total de nove pessoas a transmitindo. Daí a importância de reduzir ao máximo as possibilidades de transmissão.

fig0b

Figura representando um modelo de transmissão de uma doença contagiosa, na qual um indivíduo doente permanece doente por dois intervalos de tempo, transmitindo a doença para outros indivíduos, os quais também passam a transmitir a doença. Depois deste intervalo o indivíduo se recupera, não transmitindo mais a doença e não podendo ser re-infectado (este modelo não inclui mortalidade).

Uma característica do crescimento exponencial é que no começo o crescimento é relativamente lento, mas quando começa a aumentar, o aumento é bem rápido. Matematicamente, pode ser descrito como Nt=N0*exp(r*t), onde Nt é o número de indivíduos (ou casos) no tempo t (por exemplo, no primeiro dia, segundo dia etc), N0 é o número inicial de casos, exp significa “numero e elevado a alguma coisa” (sendo e um “número mágico” próximo de 2.72), r a taxa intrínseca de crescimento, e t o tempo. ) asterisco * representa multiplicação. Esta é a fórmula para o crescimento populacional contínuo; uma outra fórmula é para o crescimento populacional discreto, quando a população cresce não continuamente, mas em intervalos.

A fórmula do crescimento populacional discreto é Nt+1=Nt*lambda, onde Nt+1 é o número de indivíduos (ou casos) no tempo t+1, Nt é o número de indivíduos no tempo t, e lambda é a taxa de incremento populacional. Um lambda de 1.5, por exemplo, significa que Nt+1 é 50% maior que Nt. Em termos gerais, podemos, a partir do tamanho populacional inicial (N0) calcular o tamanho populacional em um tempo t qualquer como Nt=N0*lambda^t (o circunflexo ^ representa “elevado a”. Não sei escrever fórmulas em WordPress, sorry!).

O valor de lambda pode ser calculado a partir do valor de r que mencionei acima. Basicamente, se Nt=N0*exp(r*t) e Nt+1=Nt*lambda, podemos dizer que Nt+1=Nt*exp(r*1) (para crescimento contínuo), de modo que lambda=exp(r*1). Ou seja, a taxa de incremento de um tempo para outro – lambda – pode ser calculada como a exponencial da taxa de crescimento contínuo – o r.

A curva da figura acima representa um r=0.2728996 (calculado a partir dos dados). Assim, a taxa de crescimento discreto é de exp(0.2728996)=1.31, representando um aumento de ~30% por dia. Lembrando que estes meus ajustes de curva são mais pra fins didáticos e não são uma estimativa precisa! E também avisando que ajustar curvas exponencial é difícil no começo do crescimento. Não levem estes valores a sério demais!

Mas vamos supôr, por um momento, que essa curva realmente represente o que está acontecendo e que o número de casos continua aumentando exponencialmente. Podemos ter dois cenários: um em que a taxa de aumento se mantém como está (r próximo de 0.27). Em outro cenário, conseguimos reduzir essa taxa para um valor próximo a 0.10 (representando um lambda de aproximadamente 1.1, ou seja, aumento de 10% ao invés de 30% por dia). Em um terceiro cenário reduzimos ela para algo como 1.05 (r=0.05). O que vai acontecer com o tempo?

fig4

A linha contínua é a curva ajustada até o momento. A linha pontilhada roxa é o crescimento exponencial se a taxa continuar como está, e as outras curvas são exemplos do crescimento se a taxa de transmissão for reduzida. Percebem a diferença? Tudo bem, com qualquer valor de r>0 (ou seja, lambda>1), a curva cresce, mas a velocidade do crescimento diminui. E dimuindo esta velocidade, há mais tempo para o desenvolvimento de uma vacina e há uma sobrecarga menor nos serviços de saúde.

E como reduzir essa velocidade de transmissão? Não podemos alterar o vírus, mas podemos alterar a nossa própria estrutura populacional e nossa própria movimentação! Quanto menos movimentação e quanto maior a distância entre as pessoas, menos oportunidades para transmissão do vírus. Esta matéria tem uns vídeos bem didáticos mostrando isso. E é mais ou menos a isso que se referem quando falam em “achatar a curva”: ao invés de ter uma quantidade muito grande de pessoas infectadas em um curto espaço de tempo, o objetivo é que essas infecções demorem um tempo maior, permitindo que os serviços de saúde lidem com eles.

A figura abaixo mostra os dados para a China, retirados da mesma base de dados:

fig5

Pelos gráficos, a situação parece ter se estabilizado, em um número bem grande de casos. Ecologicamente, isso parece se assemelhar ao crescimento logístico, quando o tamanho populacional é limitado pela quantidade de recursos, conhecida como capacidade de suporte. É claro que falar de simples crescimento logístico aqui é uma simplificação grosseira; e a estabilização reflete também as medidas tomadas. Crescimento logístico será tema de uma postagem futura.

No post do Dynamic Ecology que mencionei acima (recomendo a leitura, do post e dos comentários!), Brian McGill fez um resumo das estratégias que podem ser adotadas. Uma estratégia é um isolamento drástico, limitando ao máximo a expansão do vírus. A outra é um isolamento parcial, para que sua expansão ocorra mais devagar. Espera-se que pessoas que adquirem o vírus e se recuperam adquiram imunidade; e quando uma porção representativa da população tiver essa imunidade (ou quando uma vacina for desenvolvida e aplicada!), a expansão se limitará naturalmente. Como entendo, a estratégia é limitar a expansão até que isso possa acontecer, para sobrecarregar menos os serviços de saúde e para que a expansão não ocorra tão rápido.

Aonde quero chegar com isso tudo? Bom, primeiro, queria falar de crescimento exponencial e exemplificar como isso pode ser usado para entender melhor algumas coisas que acontecem no nosso mundo e que nos afetam diretamente. E, segundo, tentar mostrar a importância do isolamento social como forma de reduzir as taxas de infecção e assim o aumento no número de casos.

É claro que uma porção importante da população não tem como se isolar. E uma outra parte importante poderia se isolar mas escolhe não fazer isso. E nós, membros da comunidade científica, o que podemos fazer a respeito? Acho que, primeiramente, dar o exemplo, nos isolando na medida do possível. Mas também difundir informações e combater as eventuais fake news que surjam por aí. (E dai eu estar na minha casa escrevendo um post sobre crescimento exponencial e coronavírus, rs.)

Em postagens futuras pretendo abordar o crescimento logístico (quando a curva se estabiliza em um certo valor) e depois falar especificamente de modelos epidemiológicos.

14 pensamentos sobre “Dinâmica de populações, crescimento exponencial e coronavírus

  1. Pingback: COVID-19, crescimento exponencial e crescimento logístico – Mais Um Blog de Ecologia e Estatística

  2. Oi Pavel!

    Amei os artigos, tanto esse quanto outro sobre crescimento logístico! (:
    Achei a abordagem didática *muito* massa e curti as alfinetadas marotas nas perspectivas que demonstram não compreender esse tipo de dinâmica, bem como o fundamento ao argumento do isolamento social. Se bem que, como vc mencionou numa resposta no outro post, é pouco provável q alguém que leia esses artigos estaria necessitando desse reforço, mas nunca se sabe. Talvez vc tenha mudado comportamentos e salvado muitas vidas! hehehe

    Um comentário: na parte onde vc fala sobre a relação entre a taxa de incremento (lambda) e a taxa de crescimento contínuo (r), acho que seria mais fácil de compreender se as equações fossem dispostas assim:

    Nt = N0*lambda^t
    Nt = N0*exp(r*t)

    Igualando as duas eq, temos:
    N0*lambda^t = N0*exp(r*t)

    (desdobrando a matemágica)
    lambda^t = exp(r*t)
    lambda = exp(r)

    Esse caminho faz mais sentido pra mim do que visualizar essa relação através da eq. Nt+1=Nt*exp(r*1), como está no artigo. Acho que cada um tem sua forma de visualizar a matemática, e essa foi a minha maneira de clarificar a relação.

    Faz sentido pra vc?

    Abraço e se cuida!

    Vitor

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    • Oi Vitor!
      Obrigado!
      Sim, faz sentido… Eu preferi não falar de lambda porque enxergo ele como a taxa de incremento discreto, enquanto r é a taxa de incremento contínuo. Como a curva é contínua, estou usando o r nela… E acho que falar de mais um parâmetro poderia complicar o entendimento. Ou talvez não haha Obrigado pelo comentário, agora temos também essa explicação adicional aqui!
      Abraço!

      Curtir

  3. Pingback: Um pouco sobre seleção de modelos (e também sobre COVID-19) – Mais Um Blog de Ecologia e Estatística

  4. Pingback: A Epidemia Também Termina Exponencialmente (com vacinação) – Bravo Marques

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