COVID-19, crescimento exponencial e crescimento logístico

No post de semana passada, sobre crescimento exponencial, eu ajustei uma curva de crescimento exponencial ao número de casos de COVID-19, no Brasil, por dia. Segue abaixo essa curva novamente, com os dados até o dia 17 e a previsão até a data de ontem, quando este texto foi escrito (existem pequenas diferenças em relação ao texto da semana passada porque a fonte de dados originais mudou, mas é uma diferença de poucos números e não altera o padrão geral):

logistic_fig1

Ajuste de curvas pode ser usado para prever o que irá acontecer no futuro, caso o padrão se mantenha – e neste caso, o futuro chegou! Vamos ver se essa previsão (baseada num modelo extremamente simples, ajustável com uma única linha de código em R) se cumpriu?

logistic_fig2

Em preto estão os dados usados para ajustar a curva e em vermelho os casos mais recentes de COVID-19. Acho que a minha previsão era otimista demais… Mas esse exercício serviu para mostrar que é possível, sim, usar crescimento exponencial para fazer uma previsão aproximada do que pode acontecer quando uma doença viral se expande de forma, bom, exponencial. E ainda tem gente dizendo pra sair de casa e voltar à vida normal… Aiai.

Detalhe que deve haver muito caso não notificado – ou seja, o crescimento é provavelmente ainda mais alto do que estamos vendo!

Mas e a mortalidade? Como fica a mortalidade deste “resfriadinho” (#ironiaModeOn (tem que explicitar porque vai que alguém acha que falo sério quando falo “resfriadinho”, né?))? Vamos ver se conseguimos ajustar uma curva exponencial a ela…

logistic_fig3
Na figura acima, à esquerda temos uma curva exponencial ajustada à mortalidade observada até agora, a partir da primeira morte. Na curva da direita temos esta curva extrapolada para daqui a sete dias. E ainda tem gente dizendo pra sair de casa e voltar à vida normal…

Uma última análise exploratória: como será a situação nos diferentes Estados do Brasil? Por exemplo, como está a situação na nossa Bahia? Com bases em dados disponíveis aqui neste site, temos a seguinte situação:

logistic_fig4

Percebem a semelhança e o que deve acontecer no futuro? E pior que ainda tem gente dizendo que não é pra bloquear as estradas e dizendo pra sair de casa…

Mas meu objetivo no post de hoje não é apenas falar de crescimento exponencial e como as coisas crescem, mas também falar de crescimento logístico e como as coisas se estabilizam! Assim como Roland de Gilead, eu busco aproveitar as crises para (tentar) ensinar coisas. E para falar de crescimento logístico… Vamos ver como está o nosso coronavírus na China?

logistic_fig5

Parece que o número de casos se estabilizou no começo de março, em torno de… oitenta… mil… casos… então né. Mas parece que se estabilizou! Bem que se olharmos de perto, o número de casos volta a aumentar, embora mais devagar, na segunda quinzena de março. De qualquer modo, o aumento é muito mais lento do que antes. Não vou discutir os motivos da estabilização, mas, pelo que li (por exemplo aqui e aqui) foi principalmente devido às medidas de supressão – redução em viagens e limitação na mobilidade local. Sem essas medidas, é provável que o crescimento continuasse de forma exponencial, assim como está acontecendo em grande parte do mundo.

Um exemplo de curva de crescimento que começa como exponencial, depois reduz a taxa de crescimento e depois estabiliza é o chamado crescimento logístico. De forma simplificada, neste modelo o tamanho populacional é limitado pela quantidade de recursos, havendo um tamanho populacional máximo, conhecido como capacidade de suporte e representado pela letra K. No crescimento exponencial, quanto maior o tamanho populacional (N), mais rápido a população cresce. Se representarmos a taxa de crescimento por dN/dt (ou seja, o quanto o número de indivíduos varia em um intervalo de tempo curto), no crescimento populacional temos que dN/dt = rN. Isso significa que quanto mais indivíduos temos, mais rapidamente novos indivíduos surgem. Pensando em uma doença – quanto mais indivíduos infectados temos, mais a infecção se espalha.

No crescimento logístico, a capacidade de suporte limita o crescimento populacional. Assim, se temos poucos indivíduos (N próximo de 1), a taxa de crescimento populacional é baixa porque temos poucos indivíduos se reproduzindo. Por outro lado, se o número de indivíduos está próximo da capacidade de suporte (N próximo de K), boa parte dos indivíduos não se reproduz por causa da limitação de recursos, e o crescimento populacional diminui. Pensando em uma infecção, de forma bem simplificada, seria como se não houvesse mais pessoas suficientes para serem infectadas (porque todo mundo já foi infectado e ou está doente ou adquiriu imunidade). E pensando na quantidade de gente que tem na China, me parece que a causa não foi limitação de recurso e sim as medidas de supressão implementadas, de modo que o modelo logístico nem deve ser uma boa aproximação para isso! Mas vamos continuar com ele, para fins didáticos.

Como falei, no crescimento exponencial, dN/dt = rN, sendo r a taxa intrínseca de crescimento populacional. No crescimento logístico, a taxa de crescimento aumenta à medida que N se afasta de zero, mas diminui à medida que N se aproxima de K. Assim, ele pode ser representado como dN/dt = rN*[(K-N)/K]. N é o número de indivíduos, e [(K-N)/K] é como se fosse a proporção de recursos ou da capacidade de suporte que ainda está disponível. Quando N = K, a taxa de crescimento fica igual a zero e a população se estabiliza. Outra forma de representar essa fórmula é dN/dt = rN*(1-N/K); N/K seria a proporção de recursos sendo utilizados e 1-N/K seriam os recursos ainda disponíveis.

Fazendo um pouco de matemágica e usando regras de cálculo (as quais eu desconheço, rs), podemos calcular o número de indivíduos em um certo tempo, o qual depende do número inicial de indivíduos N0, da taxa de crescimento r e da capacidade de suporte K. A fórmula é: Nt = K/{1+[(K-N0)/N0]*exp(-r*t)}. Graficamente fica algo assim:

logistic_fig6

Ajustando essa curva aos dados da China, temos um ajuste até que bonitinho:

logistic_fig7

Neste modelo, o valor de K foi estimado em 81825 e o valor de r em 0.19, com N0 sendo o número de casos de COVID-19 no primeiro dia, que neste caso era de 27 casos.

Moral da história? Os casos de COVID-19 na China parecem ter se estabilizado e essa estabilização se assemelha bastante ao que seria esperado num crescimento logístico. Mas o mecanismo provavelmente é diferente do crescimento logístico em ecologia de populações: em ecologia de populações, a estabilização ocorre quando é atingida a capacidade de suporte, definida pela disponibilidade de recursos. Já no caso da China, provavelmente foi devido às medidas de supressão… De modo que há um risco de um novo surto se as medidas forem removidas. Pelo que eu estava vendo, na Itália, por exemplo, mesmo com severas restrições à movimentação de pessoas, o crescimento continua se assemelhando a um crescimento exponencial.

Semana que vem pretendo escrever sobre o modelo epidemiológico que leva em conta o número de pessoas infectadas e de pessoas recuperadas, e na outra vou fazer um tutorial sobre ajuste de modelos não-lineares em R, usando a função nls. Até lá, fiquem em casa, a despeito do que algumas pessoas estejam dizendo por aí! :-)

18 pensamentos sobre “COVID-19, crescimento exponencial e crescimento logístico

      • Oi Eduardo,
        Então, são basicamente definidos pelas fórmulas deles. Crescimento populacional exponencial é um em que quanto mais indivíduos temos, mais rápido a população cresce:
        dN/dt = rN
        Sendo dN/dt a taxa de crescimento, r a taxa intrínseca de crescimento e N o número de indivíduos.
        No crescimento logístico, a taxa de crescimento inicialmente aumenta mas depois diminui à medida que a quantidade de indivíduos se aproxima do máximo possível:
        dN/dt = rN[(K-N)/K]
        Sendo K o número máximo de indivíduos que podemos ter na população.
        E tem também as fórmulas definindo como o número de indivíduos (ou qualquer outra variável resposta) varia com o tempo (ou qualquer outra variável explanatória). Então eu acho que a definição está basicamente na fórmula. Como não lembro a fórmula, não vou colocar ela aqui, mas acho que é basicamente isso. :-)

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  1. Adorei Pavelzito! Super didático e simples, se torna uma ferramenta muito interessante não só para explicar sobre curvas de crescimento exponencial e logístico, mas tb para aquelas pessoas descrentes entenderem matematicamente o porque devemos ficar em casa :-) Parabéns! Fico aguardando o post da próxima semana… em casa!

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  2. Oi Pav,
    muito legal o post! Aliás, achei bem interessante essa comparacão dos motivos do que observamos no crescimento logístico. Geralmente em ecologia de populacões pensamos na capcidade de suporte K como um parâmetro ligado à limitacao na densidade de recursos. De certa forma podemos pensar que o caso da China é parecido: se pensarmos que o isolamento social limitou o número de pessoas passíveis de serem infectadas, e se pensarmos em pessoas como o recurso que o vírus precisa, podemos pensar numa analogia com a mesma interpretacão.
    No entanto, talvez o K possa ter outra interpretacão, ligada a outros fatores externos… (talvez uma outra equacao acoplada?) Ou, talvez, o que tenha acontecido foi uma diminuicão no r, que no caso seria a taxa de infeccao… de forma que r/K diminuiu e nao precisou de tantos casos para a curva estabilizar…. num sei…

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    • Oi Ber!
      Obrigado!
      Então, conversando com uma pessoa ontem, cheguei mais ou menos à mesma conclusão… Reduzindo as possibilidades de encontro de pessoas e portanto de transmissão do vírus, é como se o recurso *efetivamente disponível* fosse reduzido. Então ocorreria sim uma limitação de recurso… Sendo que se as medidas forem removidas, a limitação cessa e a expansão continua.
      E pode ser também que na verdade foi apenas um decréssimo na taxa de expansão – vemos isso pela volta do crescimento da curva alguns dias atrás. Então teríamos um crescimento exponencial piecewise, com uma taxa rápida no começo e lenta depois…

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  3. Pingback: Um pouco sobre seleção de modelos (e também sobre COVID-19) – Mais Um Blog de Ecologia e Estatística

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